De implicatie, ontkenning en omkering.
De bovenste bewering (i) is te schrijven als: ALS je een meisje bent, DAN ben je goed in wiskunde Wat korter geschreven: als M dan W. Notatie: M ⇒ W. We noemen zo'n bewering een implicatie Je kunt er ook een plaatje bij maken: zie →
Je ziet: als je in de verzameling van alle meisjes zit, dan zit je vanzelf in de verzameling van alle kinderen die goed zijn in wiskunde. Punt 1 geeft aan: M is waar en W is waar. Punt 2 geeft aan: M is niet waar en W is waar. Punt 3 geeft aan: M is niet waar en W is niet waar. Het lukt alleen niet om een punt te zetten op een plek waar M wel waar is en W niet waar! Blijkbaar is de implicatie alleen niet-waar als M wel-waar is én W niet-waar. In de overige drie gevallen is de implicatie wel waar. Ga m.b.v. het plaatje nu de beweringen (ii) t/m (vii) na.
We maken hier een waarheidstabel van. Het is de waarheidstabel van de implicatie. M W M ⇒ W 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1	Inderdaad ziet de waarheidstabel van de ontkenning van de implicatie M ⇒ W er net zo uit als de tabel van (M én niet-W)! M W niet-W M én niet-W M ⇒ W niet-(M ⇒ W) 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0
Als je dus moet aantonen dat een als-dan-bewering A ⇒ B niet waar is, dan laat je een voorbeeld zien waar A wél waar is en B niet.
Soms trap je in de val dat je de implicatie omkeert, en denkt dat die dan ook waar is. In dit geval zou je zeggen: "wie goed is in wiskunde is een meisje". Zoiets staat in bewering (vi). Dat is duidelijk niet goed, kijk maar naar het plaatje met de cirkels. Het is bovendien ook niet goed als ontkenning van bewering (i). Kijk maar naar de waarheidstabel. M W W ⇒ M niet-(M ⇒ W) 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0	Er is wel een goede omkering, die hetzelfde zegt als de implicatie zelf. Dat is de bewering: niet-W ⇒ niet-M. Die bewering is geheel gelijkwaardig met de oorspronkelijke implicatie M ⇒ W. Dat kun je inzien als je eens goed nadenkt over het plaatje met de cirkels. Je kunt het ook aantonen door te laten zien dat de waarheidstabellen hetzelfde zijn. Bewering (vii) zegt dus precies hetzelfde als bewering (i). We noemen beide beweringen elkaars contrapositie M W niet-M niet-W niet-W ⇒ niet-M M ⇒ W 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1
Een voorbeeld van het gebruik van de contrapositie vind je in een alternatief bewijs van de bewering dat √2 geen rationaal getal kan zijn.